체인 룰에 대해 공부한 내용들을 정리하겠습니다.
1. 합성함수
우선 체인 룰에 대해서 설명하기 전에 합성함수에 대해 알아야 합니다.
별로 어려운 개념은 아닙니다.
간단하게 말해서 $ f(t) $ 함수의 매개변수가 $ g(x) $ 라는 함수의 결과값인 함수를 말합니다.
즉, $ t = g(x) $ 이므로 $ f(g(x)) $ 와 같이 표현할 수 있을 것입니다.
$ (f \circ g)(x) $ 라고도 표현할 수 있습니다.
예시를 들어보면, $ f(t) = 2t + 1 $ 이고 $ g(x) = x^2 $ 이라고 하겠습니다.
위 식에서 $ x = 3 $ 일 때,
$$ f(t) = f(g(x)) $$
$$= f(x^2) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1 $$
$$ = 19 $$ 이 될 것입니다.
합성함수는 별로 어려운 개념이 아니기 때문에 설명은 이 이정도로 마치겠습니다.
2. 체인 룰
미분의 기본적인 개념을 알고 있다고 가정하고 설명하겠습니다.
체인 룰은 두 함수를 합성한 합성 함수의 도함수에 관한 공식입니다.
(https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EC%87%84_%EB%B2%95%EC%B9%99)
그 공식은 다음과 같습니다.
$$ (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x) $$
체인룰은 변수가 여러 개일 때, 어떤 변수에 대한 다른 변수의 변화율을 알아내기 위해 쓰인다고 합니다.
3. 증명
두 가지 방법을 설명할 것인데 첫 번째는 미분의 정의를 이용하여 증명하는 것입니다.
$ y = f(g(x)) $ 일 때,
$$ y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} $$
$$ = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
$$ =f'(g(x))\cdot g'(x) $$
위에서 $ \lim $ 이 두 개로 나뉘어진 이유는 다음과 같습니다.
$ \lim_{x\rightarrow a}f(x) = A, \lim_{x\rightarrow a} g(x) = B $일 때,
$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x) = AB $$ 인 성질을 이용한 것이라고 이해하시면 될 것 같습니다.
두 번째 증명은 극한을 이용하는 것입니다.
$ y = f(t) $ 이고 $ t = g(x) $이고 $ \Delta t \neq 0 $ 라고 할 때,
$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta t}{\Delta x} $$ 입니다.
위의 식은 딱히 의미가 있는 것이 아니라 증명을 하기 위한 장치라고 생각하시면 될 것 같습니다.
여기서 $ y = f(t), t = g(x) $ 모두 미분가능하므로,
$$ \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{dy}{dt}, \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta t}{\Delta x} = \frac{dt}{dx} $$
미분가능한 함수 $ t = g(x) $는 연속이므로 $ \Delta x \rightarrow 0 이면 \Delta t \rightarrow 0 $ 입니다. 따라서 다음이 성립하게 됩니다.
$$ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
$$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\left ( \frac{\Delta y}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta t}{\Delta x} \right ) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta t}{\Delta x} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta t}{\Delta x} $$
$$= \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} $$
$$ \therefore \frac{dy}{dx}=y'=\frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx}=f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
위의 식 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta t}{\Delta x} $ 은 단순히 상수끼리의 곱이었지만 $ \frac{dy}{dx}=y'=\frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx}=f'(g(x)) \cdot g'(x) $은 라이프니츠 표기법으로, 편의를 위해 분수처럼 계산한 것일뿐 실제로는 나눗셈 연산이 불가능합니다.
참고로 위의 증명과 그를 뒷받침하기 위한 증명 또한 KHAN ACADEMY에서 자세히 설명하고 있습니다.
위키피디아에서는 위의 방법들을 포함한 다양한 증명에 대해 설명하고 있습니다.
4. 예시
간단한 문제 몇 개를 풀어보겠습니다.
Ex1) $ y = (x^2 + 7)^3 $
sol) $ z = x^2 + 7, y = z^3 $ 라고 할 때,
$ \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} \cdot \frac{dy}{dz} $ 이므로
$ \frac{dy}{dx} = 2x(3z^2) = 6x(x^2 + 7)^2 $
Ex2) $ y = \frac{1}{(x^3 + 2x + 4)^5} $
sol) $ z = x^3 + 2x + 4, y = z^-5 $ 라고 할 때,
$ \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} \cdot \frac{dy}{dz} $ 이므로
$ (3x^2 + 2)(-5z^{-6}) = -5(3x^2 + 2)(x^3 + 2x + 4)^{-6} = \frac{-5(3x^2 + 2)}{(x^3 + 2x + 4)^{-6}} $
참고
http://bhsmath.tistory.com/184
http://newsight.tistory.com/223
http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=alwaysneoi&logNo=100171733834
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